Актер окончил школу-студию МХАТ, некоторое время играл в МХАТ им. М. Горького.
Вместе с Галиной Волчек и Олегом Ефремовым основал театр "Современник". Здесь он сыграл во множестве спектаклей. В частности, свои роли Кваша выполнял в спектаклях "Вишневый сад", "Вечно живые", "Бесы", "Дни Турбиных".
Снимался Игорь Кваша и в фильмах: "Достояние республики", "Соломенная шляпка", "Тот самый Мюнхгаузен", "Человек с бульвара Капуцинов", "Сердца трех", "Мастер и Маргарита", "Под знаком Скорпиона". К слову, "Под знаком Скорпиона" актер считал своей лучшей работой.
С 1998 Кваша был ведущим передачи "Жди меня".
К тому же, актер неоднократно имел награды за свое творчество. Он награжден Орденом "За заслуги перед Отечеством" III степени. Обладатель театральной премии "Хрустальная Турандот" в номинации "За честь и достоинство" и Царскосельской Художественной премии "За легендарный путь в искусстве и искренность творческого почерка".
К слову, 22 июля скончался выдающийся актер, лауреат Шевченковской премии, Герой Украины Богдан Сильвестрович Ступка.