Актор закінчив школу-студію МХАТ, певний час грав у МХАТ ім. М. Горького.
Разом з Галиною Волчек і Олегом Єфремовим заснував театр "Современник". Тут він зіграв у безлічі вистав. Зокрема, свої ролі Кваша виконував у виставах "Вишневий сад", "Вічно живі", "Біси", "Дні Турбіних".
Знімався Ігор Кваша і в фільмах: "Надбання республіки", "Солом'яний капелюшок", "Той самий Мюнхгаузен", "Людина з бульвару Капуцинів", "Серця трьох", "Майстер і Маргарита", "Під знаком Скорпіона". До слова, "Під знаком Скорпіона" актор вважав своєю найкращою роботою.
З 1998 Кваша був ведучим передачі "Жди меня".
До того ж, актор неодноразово мав нагороди за свою творчість. Він нагороджений Орденом "За заслуги перед Вітчизною" III ступеня. Володар театральної премії "Кришталева Турандот" у номінації "За честь і гідність" і Царськосельській Мистецької премії "За легендарний шлях у мистецтві і щирість творчого почерку".
До слова, 22 липня помер видатний актор, лауреат Шевченківської премії, Герой України Богдан Сильвестрович Ступка.