Футбольную карьеру Рамаз Шенгелия начал в Кутаисском "Торпедо", а затем выступал за тбилисское "Динамо", в составе которого в 1981 году стал обладателем Кубка Кубков Европы.
В чемпионатах СССР он провел 283 матча, забил 120 голов. В 1981 году стал лучшим бомбардиром чемпионата СССР. Признавался лучшим футболистом СССР 1978 и 1981 годов. Провел 26 матчей за сборную СССР.
Бывший вратарь тбилисского "Динамо" и сборной СССР Отар Габелия заявил журналистам, что "неожиданная кончина Рамаз Шенгелия - большая потеря для всех, кто восхищался футбольным талантом".